belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini adalah kelanjutan Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini adalah kelanjutan atau pengembangan dari turunanan fungsi aljabar. Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar bahwa untuk belajar matematika dasar turunan fungsi trigonometri, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang limit fungsi aljabar. Terkhusus lagi untuk belajar turunan fungsi trigonometri, kita juga sudah belajar limit fungsi trigonometri, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar turunan fungsi. Penerapan turunan fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada turunan fungsi trigonometri bukanlah hal sulit, jika kita mau mengikuti step by step yang kita diskusikan pada alternatif pembahasan soal dibawah ini, maka kita akan bisa memahami soal-soal turunan fungsi trigonometri. Turunan diferensial dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ dibaca"f aksen". Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $fx$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'x$, didefinisikan $f'x=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{fx+h-fx}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'x$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan diferentiable. Selain bentuk $f'x$ dibaca"f aksen x", bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=fx$ adalah $y'$ atau $D_{x}fx$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \leftfx\right}{dx}$. ATURAN TURUNAN FUNGSI Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain Jika $fx=k$ kkonstanta maka $f'x=0$ Jika $fx=x$ maka $f'x=1$ Jika $fx= kx^{n}$ maka $f'x=knx^{n-1}$ Jika $fx= k \cdot ux$ maka $f'x=k \cdot u'x$ Jika $fx=ux+vx$ maka $f'x=u'x + v'x$ Jika $fx=ux - vx$ maka $f'x=u'x - v'x$ Jika $fx=ux \cdot vx$ maka $f'x=u'x \cdot vx+ux \cdot v'x$ Jika $fx=\dfrac{ux}{vx}$ maka $f'x=\dfrac{u'x \cdot vx-ux \cdot v'x}{v^{2}x}$ Jika $fx= u^{n}x$ maka $f'x=n \cdot u^{n-1}x \cdot u'x$ Jika $fx= \left ux \right $ maka $f'x=\dfrac{ux}{\left ux \right } \cdot u'x,\ \ u\neq 0 $ Jika $fx= ln\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{ux}$ Jika $fx=e^{ux}$ maka $f'x=u'x \cdot e^{ux}$ Jika $fx=log_{a}ux$ maka $f'x= \dfrac{u'x}{ln\ a \cdot ux}$ Jika $fx=a^{ux}$ maka $f'x=a^{ux} \cdot u'x \cdot ln\ a$ ATURAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRIDari definisi turunan fungsi, selain beberapa aturan pada turunan fungsi di atas, khusus untuk turunan fungsi trigonometri diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi, yaitu Jika $fx=sin\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot cos\ ux$ Jika $fx=cos\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sin\ ux$ Jika $fx= tan\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sec^{2}\ ux$ Jika $fx= cot\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csc^2\ ux$ Jika $fx= sec\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sec\ ux\ tan\ ux$ Jika $fx=csc\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csc\ ux\ cot\ ux$ Jika $fx=arcsin\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=arccos\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=arctan\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1+u^{2}x}$ Jika $fx=arccot\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{1+u^{2}x}$ Jika $fx=arcsec\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{ux \sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=arccsc\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux \sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=sinh\ ux$ maka $f'x= u'x \cdot cosh\ ux$ Jika $fx=cosh\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sinh\ ux$ Jika $fx=tanh\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sech^{2}\ ux$ Jika $fx=coth\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csch^2\ ux$ Jika $fx=sech\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sech\ ux\ tanh\ ux$ Jika $fx=csch\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csch\ ux\ coth\ ux$ Jika $fx=sinh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{u^{2}x+1}}$ Jika $fx=cosh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=tanh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1-u^{2}x}$ Jika $fx=coth^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1-u^{2}x}$ Jika $fx=sech^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=csch^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux \sqrt{1+u^{2}x}}$ MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA Jika kurva $y=fx$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'x_{1}$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=mx-x_{1}$. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Jika $f'x \gt 0$ maka fungsi $y=fx$ naik atau sebaliknya jika $y=fx$ naik maka $f'x \gt 0$ Jika $f'x \lt 0$ maka fungsi $y=fx$ turun atau sebaliknya jika $y=fx$ turun maka $f'x \lt 0$ NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUMNilai maksimum atau minimum suatu fungsi $fx$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua. Jika $x=a$ pada $f'a=0$ sehingga $f''a \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $fx$ minimum atau nilai minimum $fx$ adalah $fa$. Jika $x=a$ pada $f'a=0$ sehingga $f''a \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $fx$ maskimum atau nilai maksimum $fx$ adalah $fa$. Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi trigonometri di atas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasanπ. 1. Soal UMPTN 1992 Rayon A *Soal LengkapDiketahui fungsi $fx=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $x=\left 0,b \right$. Nilai $b$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & \dfrac{\pi}{2} \\ C\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ E\ & 2+\dfrac{\pi}{2} \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk kita ingat bahwa jika $y=sin\ x$ maka $y'=cos\ x$ dan $y=cos\ x$ maka $y'=-sin\ x$. Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ pada $fx=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$ maka kita peroleh $\begin{align} y &=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ &=\dfrac{2+cos\ 90^{\circ}}{sin\ 90^{\circ}} \\ &=\dfrac{2+0}{1}=2 \\ \hline x,y &= \left 90^{\circ},2 \right \end{align}$ Gradien garis singgung di sebuah titik dapat kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama yaitu $m=f'x$, sehingga saat $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ kita peroleh $\begin{align} fx\ &= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'x = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline m=f'x &= \dfrac{\left -sin\ x \right\leftsin\ x \right-\left 2+cos\ x \right\leftcos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -\left 2cos\ x+cos^{2} x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x-cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left sin^{2}+cos^{2} x \right -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ 90^{\circ} }{sin^{2} 90^{\circ}} \\ &= \dfrac{ - 1 -2 0 }{1^{2}} \\ &= -1 \\ \end{align}$ Persaman garis untuk $m=-1$ pada $x,y= \left 90^{\circ},2 \right$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \left x-x_{1} \right \\ y-2 &= -1 \left x- 90^{\circ} \right \\ y-2 &= -x+ 90^{\circ} \\ y &= -x+2+ 90^{\circ} \end{align}$ Garis memotong sumbu $y$ di titik $\left 0,b \right$ sehingga $\begin{align} y &= -x+2+ 90^{\circ} \\ b &= -0+2+ 90^{\circ} \\ b &=2+ 90^{\circ} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 2+\dfrac{\pi}{2}$2. Soal UMPTN 1993 Rayon B *Soal LengkapJika $fx= - \left cos^{2}x-sin^{2}x \right$, maka $f'x$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \left cos\ x + sin\ x \right \\ B\ & 2 \left cos\ x - sin\ x \right \\ C\ & sin\ x\ cos\ x \\ D\ & 2\ sin\ x\ cos\ x \\ E\ & 4\ sin\ x\ cos\ x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk menyelesaikan soal ini kita meminjam sifat dari identitas trigonometri yaitu $sin\ 2x=2\ sin\ x\ cos\ x$ dan $cos\ 2x=cos^{2}x-sin^{2}x$, sehingga berlaku $\begin{align} fx &= - \left cos^{2}x-sin^{2}x \right \\ &= - \left -2\ sin\ 2x \right \\ &= 2\ sin\ 2x \\ &= 2\ \cdot 2 sin\ x\ cos\ x \\ &= 4 sin\ x\ cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 4\ sin\ x\ cos\ x$3. Soal UMPTN 1993 Rayon B *Soal LengkapJika $y=3x^{4}+sin\ 2x +cos\ 3x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ B\ & 12x^{3}+ cos\ 2x - sin\ 3x \\ C\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ D\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ E\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} y &=3x^{4}+sin\ 2x +3\ cos\ 3x \\ \dfrac{dy}{dx} &=34x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ &=12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x$4. Soal UMPTN 1993 Rayon C *Soal LengkapJika $y=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ B\ & 6\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ C\ & 2\ cos\ 3x +3\ sin\ 2x \\ D\ & 6\ cos\ 3x +6\ sin\ 2x \\ E\ & -6\ cos\ 3x - 6\ sin\ 2x \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} y &=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x \\ \dfrac{dy}{dx} &=23\ cos\ 3x -3 \left-2\ sin\ 2x \right \\ &=6\ cos\ 3x +6 \ sin\ 2x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 12x^{3}+2cos\ 2x -3 sin\ 3x$5. Soal UMPTN 1999 Rayon A *Soal LengkapJika $fx=\dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x}$, $sin\ x \neq 0$ dan $f'x$ adalah turunan $fx$, maka $f' \left \dfrac{\pi}{2} \right $ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} fx\ &= \dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'x = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline f'x &= \dfrac{\left cos\ x - sin\ x \right\left sin\ x \right-\left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{cos\ x\ sin\ x - sin^{2} x- sin\ x\ cos\ x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - sin^{2} x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left sin^{2} x+cos^{2}x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} x} \\ \hline f' \left \dfrac{\pi}{2} \right &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} \left \dfrac{\pi}{2} \right} \\ &= \dfrac{ - 1}{1} = -1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -1$6. Soal UMPTN 1998 Rayon A *Soal LengkapJika $fx=a\ tan\ x +bx$, $f'\left \dfrac{\pi}{4} \right=3$ dan $f'\left \dfrac{\pi}{3} \right=9$, maka $a+b=\cdots$ ... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & \dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2 \\ E\ & \pi \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $fx=tan\ x$ maka $f'x=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $fx=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$. $\begin{align} fx & = a\ tan\ x +bx \\ f'x & = a\ sec^{2} x +b \\ f'x & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{4} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{4} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 45^{\circ} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2}\sqrt{2} \right^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{3} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{3} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 60^{\circ} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2} \right^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$ Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline 2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline a+b=0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $A\ 0$7. Soal SPMB 2002 Regional I *Soal LengkapTurunan pertama dari $y=cos^{4}\ x$ adalah... $\begin{align} A\ & \dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ B\ & -\dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ C\ & \dfrac{1}{4}\ sin^{3}x \\ D\ & -4\ sin^{3}x cos\ x \\ E\ & -4\ cos^{3}x\ sin\ x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntk menyelesaikan masalah di atas kita coba dengan pemisalan $\begin{align} u & = cos\ x \\ \dfrac{du}{dx} & = -sin\ x \\ \hline y & = cos^{4}\ x\\ y & = u^{4} \\ \dfrac{dy}{du} & = 4u^{3} \\ \hline \dfrac{dy}{dx} & = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4u^{3} \cdot \left -sin\ x \right \\ & = 4cos^{3}\ x \cdot \left -sin\ x \right \\ & = -4cos^{3}\ x \cdot sin\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $E\ -4\ cos^{3}\ x \cdot sin\ x$8. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapJika $fx=a\ tan\ x +bx$, $f'\left \dfrac{\pi}{4} \right=3$ dan $f'\left \dfrac{\pi}{3} \right=9$, maka $a+b=\cdots$ ... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 2 \\ C\ & \dfrac{24}{5} \\ D\ & 6 \\ E\ & \dfrac{39}{5} \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $fx=tan\ x$ maka $f'x=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $fx=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$. $\begin{align} fx & = a\ tan\ x +bx \\ f'x & = a\ sec^{2} x +b \\ f'x & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{4} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{4} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 45^{\circ} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2}\sqrt{2} \right^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{3} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{3} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 60^{\circ} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2} \right^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$ Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline 2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline a+b=0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $A\ 0$9. Soal SBMPTN 2017 Kode 106/124 *Soal LengkapJika $fx=sinsin^{2}x$, maka $f'x=\ldots$ $\begin{align} A\ & 2\ sin\ x \cdot cossin^{2}x \\ B\ & 2\ sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \\ C\ & sin^{2}x \cdot cossin^{2}x \\ D\ & sin^{2}2x \cdot cossin^{2}x \\ E\ & sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu $f'x = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$ Soal$fx=sinsin^{2}x$ Misal $u=sin\ x$ $\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$ Soal$fx=sinu^{2}$ Misal $v=u^{2}$ $\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$ Soal$fx=sinv$ $\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cosv$ $\begin{split} f'x = \dfrac{df}{dx} & = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =cosv \cdot 2u \cdot cos\ x\\ & =cosu^{2} \cdot 2sin\ x \cdot cos\ x\\ & =cossin^{2}x \cdot 2sin\ x \cdot cos\ x\\ & =cossin^{2}x \cdot sin\ 2x\\ & = sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \end{split}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ sin\ 2x \cdot cossin^{2}x$ 10. Soal SBMPTN 2017 Kode 135 *Soal Lengkap Misalkan $fx=2\ tan \left\sqrt{sec\ x} \right$, maka $f'x\cdots$ $\begin{align} A\ & sec^{2} \left\sqrt{sec\ x} \right \cdot tan\ x \\ B\ & sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ C\ & 2sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ D\ & sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot sec\ x \cdot tan\ x \\ E\ & 2sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot sec\ x \cdot tan\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu $f'x = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$ Soal$fx=2\ tan \left\sqrt{sec\ x} \right$ Misal $u=sec\ x$ $\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=sec\ x\ \cdot \tan\ x$ Soal$fx=2\ tan \left\sqrt{u} \right$ Misal $v=\sqrt{u}$ $\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$ Soal$fx=2\ tan \left v \right$ $\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=2sec^{2}v$ $\begin{split} f'x = \dfrac{df}{dx} &= \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =2sec^{2}v \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =2sec^{2}\left \sqrt{u} \right \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =sec^{2}\left \sqrt{sec\ x} \right \cdot \dfrac{1}{\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & = sec^{2}\left \sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot \tan\ x \end{split}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x$ 11. Soal SPMB 2005 Regional II *Soal Lengkap Turunan pertama dari fungsi $fx=\dfrac{1+cos\ x}{sin\ x}$ adalah $f'x=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{1-sin\ x}{sin^{2}x} \\ B\ & \dfrac{ sin\ x-1}{cos\ x-1} \\ C\ & \dfrac{ 2}{cos\ x+1} \\ D\ & \dfrac{ 2}{sin\ x-1} \\ E\ & \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= \dfrac{1+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline & u\ = 1+cos\ x \rightarrow u'=-sin\ x \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'=cos\ x \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'x &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'x &= \dfrac{\left -sin\ x \right\left sin\ x \right-\left 1 + cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2}\ x - cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -\left sin^{2}\ x+cos^{2} x \right - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -1 - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left1 + cos\ x \right}{1-cos^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left1 + cos\ x \right}{\left1 + cos\ x \right\left1 - cos\ x \right} \\ &= \dfrac{ -1 }{ \left1 - cos\ x \right} \\ &= \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \dfrac{1}{cos\ x-1} $ 12. Soal SPMB 2005 Kode 772 Regional I *Soal Lengkap Jika fungsi $fx=sin\ ax + cos\ bx$ memenuhi $f'0=b$ dan $f'\left \frac{\pi}{2a} \right=-1$, maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & 0 \\ C\ & 1 \\ D\ & 2 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= sin\ ax + cos\ bx \\ f'x\ &= a\ cos\ ax -b\ sin\ bx \\ \hline f'0\ &= a\ cos\ 0 -b\ sin\ 0 \\ b\ &= a\ \cdot 1 -b\ \cdot 0 \\ b\ &= a \\ \hline f'\left \frac{\pi}{2a} \right\ &= a\ cos\ a\left \frac{\pi}{2a} \right -b\ sin\ b\left \frac{\pi}{2a} \right \\ -1\ &= a\ cos\ a\left \frac{\pi}{2a} \right -a\ sin\ a\left \frac{\pi}{2a} \right \\ -1\ &= a\ cos\ \left \frac{\pi}{2 } \right -a\ sin\ \left \frac{\pi}{2 } \right \\ -1\ &= a\ \cdot 0 -a\ \cdot 1 \\ -1\ &= -a \\ a\ &= 1\ \rightarrow b=1 \\ a+b\ &= 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 2$ 13. Soal SPMB 2005 Kode 520 Regional II *Soal Lengkap Jika $fx=sin\ x\ cos\ 3x$, maka $f'\left \frac{1}{6}\pi \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{1}{2} \\ B\ & -\dfrac{1}{2} \\ C\ & -1\dfrac{1}{2} \\ D\ & -\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \\ E\ & -1\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= sin\ x\ cos\ 3x\\ \hline & u\ = sin\ x \rightarrow u'=cos\ x \\ & v\ = cos\ 3x \rightarrow v'=-3\ sin\ 3x \\ \hline \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'x &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'x &= cos\ x \cdot cos\ 3x + sin\ x \cdot -3\ sin\ 3x \\ &= cos\ x \cdot cos\ 3x -3 sin\ x \cdot sin\ 3x \\ \hline f'\left \frac{1}{6}\pi \right &= cos\ \left \frac{1}{6}\pi \right \cdot cos\ 3\left \frac{1}{6}\pi \right -3 sin\ \left \frac{1}{6}\pi \right \cdot sin\ 3\left \frac{1}{6}\pi \right \\ &= cos\ 30^{\circ} \cdot cos\ 90^{\circ} -3 sin\ 30^{\circ} \cdot sin\ 90^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 0 -3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \\ &= 0 - \dfrac{3}{2} \\ &=- \dfrac{3}{2} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -1\dfrac{1}{2}$ 14. Soal SPMB 2005 Kode 171 Regional III *Soal Lengkap Turunan pertama dari fungsi $y= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2}$ adalah $y'=\cdots$ $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 4\ sin^{2}x \\ C\ & 4\ sin^{2}x-2 \\ D\ & 4\ cos^{2}x-2 \\ E\ & 4\ cos^{2}x-4 \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2} \\ &= sin^{2} x\ + cos^{2} x + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + sin\ 2x \\ f'x &= 2\ cos\ 2x \\ &= 2\ \left 2cos^{2}x-1 \right \\ &= 4\ cos^{2}x-2 \end{align}$ Alternatif yang lain dapat juga kita gunakan sifat turunan yaitu $\begin{align} fx\ &= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2} \\ f'x &= 2 \left sin\ x\ + cos\ x \right \left cos\ x\ - sin\ x \right \\ &= 2 \left cos^{2}\ x\ - sin^{2}\ x \right \\ &= 2 \left cos^{2}\ x\ - 1 +cos^{2}\ x \right \\ &= 2 \left 2cos^{2}\ x\ - 1 \right \\ &= 4\ cos^{2}x- 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 4\ cos^{2}x-2$ 15. Soal UM UGM 2005 Kode 821 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \sqrt{1+sin^{2}x},\ 0 \leq x \leq \pi$, maka $f'\left x \right \cdot f\left x \right$ sama dengan... $\begin{align} A\ & \left 1+sin^{2}x \right sin\ x\ cos\ x \\ B\ & \left 1+sin^{2}x \right \\ C\ & sin\ x\ cos\ x \\ D\ & sin\ x \\ E\ & \dfrac{1}{2} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= \sqrt{1+sin^{2}x} \\ f\left x \right\ &= \left 1+sin^{2}x \right^{\frac{1}{2}} \\ f'\left x \right\ &= \frac{1}{2} \cdot \left 1+sin^{2}x \right^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ \hline f'\left x \right \cdot f\left x \right &= \sqrt{1+sin^{2}x} \cdot \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ &= sin\ x \cdot cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ sin\ x\ cos\ x$ 16. Soal UM UGM 2005 Kode 621 *Soal Lengkap Diketahui $f\left x \right= x\ sin\ 3x$, maka $f'\left \frac{\pi}{4} \right$ sama dengan... $\begin{align} A\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right\\ B\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right\\ C\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1- \dfrac{3\pi}{4} \right\\ D\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left \dfrac{3\pi}{4}-1 \right\\ E\ & \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= x\ sin\ 3x \\ \hline & u\ = x \rightarrow u'=1 \\ & v\ = sin\ 3x \rightarrow v'= 3\ cos\ 3x \\ \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'x &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'x &= 1 \cdot sin\ 3x + x \cdot 3\ cos\ 3x \\ &= sin\ 3x + 3x \cdot cos\ 3x \\ f'\left \frac{\pi}{4} \right &= sin\ 3\left \frac{\pi}{4} \right + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot cos\ 3\left \frac{\pi}{4} \right \\ &= sin\ 135^{\circ} + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot cos\ 135^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot \left -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot \left \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \\ &= \left \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \left1 - 3 \cdot \frac{\pi}{4} \right \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1- \dfrac{3\pi}{4} \right$ 17. Soal UM UGM 2006 Kode 381 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x}$, dengan $cos\ x +sin x \neq 0$ maka $f'\left x \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1- \left fx \right^{2}\\ B\ & -1+\left fx \right^{2}\\ C\ & - \left1+ \left fx \right^{2} \right \\ D\ & 1 + \left fx \right^{2}\\ E\ & \left fx \right^{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x} \\ \hline & u\ = cos\ x -sin\ x \rightarrow u'=-sin\ x - cos\ x \\ & v\ = cos\ x + sin\ x \rightarrow v'= -sin\ x + cos\ x \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'x &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'x &= \dfrac{\left -sin\ x - cos\ x \right\left cos\ x + sin\ x \right-\left cos\ x -sin\ x \right\left -sin\ x + cos\ x \right}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} } \\ &= \dfrac{-\left sin\ x + cos\ x \right^{2} -\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} } \\ &= \dfrac{-\left sin\ x + cos\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2}} - \dfrac{\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} }\\ &= -1 - \dfrac{\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} }\\ &= -1 - \left fx \right^{2} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ - \left1+ \left fx \right^{2} \right$ 18. Soal UMPTN 1994 Rayon B *Soal Lengkap Jika $fx=x\ cos\ x$, maka $f'\leftx + \frac{\pi}{2} \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ B\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ C\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ D\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ E\ & -cos\ x\ + x\ sin\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa $y=sin\ \left\frac{\pi}{2}+x \right=cos\ x$ dan $y=cos\ \left\frac{\pi}{2}+x \right=-sin\ x$. $\begin{align} fx &= x\ cos\ x \\ f\leftx + \frac{\pi}{2} \right &= \leftx + \frac{\pi}{2} \right\ cos\ \leftx + \frac{\pi}{2} \right \\ &= -\leftx + \frac{\pi}{2} \right\ sin\ x \\ \hline & u\ = -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \rightarrow u'=-1 \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'= cos\ x \\ \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'\leftx \right &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ \hline f' \leftx + \frac{\pi}{2} \right &= -1 \cdot sin\ x -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x - x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{pi}{2}\ cos\ x$ 19. Soal UMPTN 2001 Rayon C *Soal Lengkap Garis $g$ menyinggung kurva $y=sin\ x + cos\ x$ di titik yang berabsis $\dfrac{1}{3}\pi$. Gradien garis yang tegak lurus pada garis $g$ adalah... $\begin{align} A\ & 1-\sqrt{3} \\ B\ & 1+\sqrt{3} \\ C\ & 1 \\ D\ & \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \\ E\ & \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} y &= sin\ x + cos\ x \\ y' &= cos\ x - sin\ x \\ \hline m_{x=\frac{1}{3}\pi} &= cos\ \frac{1}{3}\pi - sin\ \frac{1}{3}\pi \\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$ Gradien garis yang tegak lurus dengan garis singgung $g$ bergradien $m_{g}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah $\begin{align} m_{g} \cdot m_{l} &= -1 \\ m_{l} &= \dfrac{-1}{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2 \left 1 + \sqrt{3} \right}{1-3} \\ &= 1 + \sqrt{3} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 1+\sqrt{3}$ 20. Soal SNMPTN 2011 Kode 578 *Soal Lengkap Diketahui $f\left x \right=x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x$. Persamaan garis singgung di $f$ yang melalui titik asal adalah... $\begin{align} A\ & x=0 \\ B\ & y=0 \\ C\ & y=x \\ D\ & y=-x \\ E\ & \text{tidak ada} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Gradien garis Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} f\left x \right &= x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x \\ f'\left x \right &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ \end{align}$ Gradien garis singgung pada kurva yang melalui titik asal adalah $\begin{align} m_{g} &= \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &= \frac{1}{3} \cdot \left 0 \right^{-\frac{2}{3}}\ sin\ \left 0 \right + \left 0 \right^{ \frac{1}{3}}\ cos\ \left 0 \right \\ &= \frac{1}{3} \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ &= 0 \end{align}$ Garis singgung melaluit titik asal $\left 0,0 \right$ dengan gradien $m=0$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \leftx-x_{1} \right \\ y-0 &= 0 \leftx- 0 \right \\ y &= 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ y=0$ 21. Soal SNMPTN 2010 KOde 528 *Soal Lengkap Jika garis singgung kurva $y=2x\ cos^{3} x$ di titik $\left \pi, -2\pi \right$ tegak lurus dengan garis $g$, maka persamaan garis $g$ adalah... $\begin{align} A\ & y=2x-3\pi \\ B\ & y=2x+\pi \\ C\ & y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\pi \\ D\ & y=-\dfrac{1}{2}x+3\pi \\ E\ & y=\dfrac{1}{2}x+\pi \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} y &= 2x\ cos^{3} x \\ y' &= 2 \cdot cos^{3}\ x +2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x \left -sin\ x \right \\ &= 2 \cdot cos^{3}\ x - 2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x\ sin\ x \\ \hline m_{x=\pi} &= 2 \cdot cos^{3}\ \pi - 2\pi \cdot 3 \cdot cos^{2}\ \pi\ sin\ \pi \\ &= 2 \cdot -1^{3} - 2\pi \cdot 3 \cdot -1^{2}\ 0 \\ &= 2 \cdot -1 - 0 = -2 \end{align}$ Karena dua garis yang tegak lurus perkalian gradiennya adalah $-1$ sehingga gradien garis yang tegak lurus dengan garis bergradien $m_{g}=-2$ adalah $ m_{l}=\dfrac{1}{2} $ Persamaan garis di titik $\left \pi, -2\pi \right$ yang tegak lurus dengan garis $g$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \leftx-x_{1} \right \\ y+2\pi &= \dfrac{1}{2} \leftx- \pi \right \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{1}{2}\pi -2\pi \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi $ 22. Soal SIMAK UI 2012 Kode 523 *Soal Lengkap Diberikan $fx=sin^{2}x$. Jika $f'x$ menyatakan turunan pertama dari $fx$, maka $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \}=\cdots$ $\begin{align} A\ & sin\ 2x \\ B\ & -cos\ 2x \\ C\ & 2\ cos\ 2x \\ D\ & 2\ sin\ x \\ E\ & -2\ cos\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Bentuk limit $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \}$ pada soal memiliki kemiripan dengan definisi turunan fungsi yaitu $\begin{align} y &= fx \\ f'x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{fx+p-fx}{p} \\ f''x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f'x+p-f'x}{p} \\ f^{3}x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f''x+p-f''x}{p} \\ \vdots & \end{align}$ Jika kita misalkan $h=\dfrac{1}{a}$ maka kita peroleh $a=\dfrac{1}{h}$ Lalu untuk $h \rightarrow \infty$ kita peroleh $a \rightarrow 0$ Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan pada soal, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} & \lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{1}{a} \left\{ f' \left x+ a \right -f'x\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{ f' \left x+ a \right -f'x}{a} \end{align}$ Dari bentuk di atas dapat kta simpulkan bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan kedua dari fungsi $fx=sin^{2}x$, yaitu $\begin{align} fx &= sin^{2}x \\ f'x &= 2\ \cdot sin\ x\ cos\ x \\ f''x &= 2\ \cdot cos\ x\ \cdot cos\ x + 2 \cdot sin\ x \cdot \left-sin\ x \right \\ &= 2\ \cdot cos^{2}x - 2 \cdot sin^{2}x \\ &= 2\ \left cos^{2}x - sin^{2}x \right \\ &= 2\ cos\ 2x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 2\ cos\ 2x$ 23. Soal UM UGM 2014 Kode 532 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ 2x + sin\ 2x \right$ dan $f'\left x \right=2\ cos\ 3x +gx$ maka $gx=\cdots$ $\begin{align} A\ & cos\ 3x +sin\ x \\ B\ & cos\ 3x -sin\ x \\ C\ & cos\ x +sin\ x \\ D\ & cos\ x - sin\ x \\ E\ & -cos\ x + sin\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas, kita mungkin memerlukan catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada perbandingan trigonometri. $\begin{align} f\left x \right &= \left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ 2x + sin\ 2x \right\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x \\ &= sin \left 2x+x \right + cos \left2x-x \right \\ &= sin \left 3x \right + cos \left x \right \\ f'\left x \right\ &= 3\ cos \left 3x \right - sin \left x \right \\ &= 2\ cos \left 3x \right + cos \left 3x \right - sin \left x \right \\ \hline f'\left x \right\ &= 2\ cos \left 3x \right + g \left x \right \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ cos\ 3x -sin\ x$ 24. Soal SBMPTN 2014 Kode 589/586 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= 2x + sin\ 2x$ untuk $-\dfrac{\pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} $, maka $f'x=\cdots$ $\begin{align} A\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left tan\ x \right ^{i} \\ B\ & 4\ \left 1-cos^{2}x \right \\ C\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} \\ D\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -sin\ x \right ^{2i} \\ E\ & 4\ cos\ 2x \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right &= 2x + sin\ 2x \\ f '\left x \right &= 2 + 2\ cos\ 2x \\ &= 2 \left1 + cos\ 2x \right \\ &= 2 \left1 + 2cos^{2}x-1 \right \\ &= 4cos^{2}x \end{align}$ Sampai pada langkah di atas kita belum mendapatkan jawaban seperti apa yang diinginkan pembuat soal. Kita coba mengeksplorasi beberapa pilihan yang ada. Untuk pilihan $B$ dan $E$ sudah tidak mungkin lagi menjadi jawaban, sehingga yang perlu kita eksplorasi adalah pilihan $A$, $C$, atau $D$. Disini yang kita pilih untuk di eksplorasi adalah pilihan $C\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i}$ $\begin{align} & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} \\ & =4 \left [ \left -1 \right ^{0} \left tan\ x \right ^{20}+\left -1 \right ^{1} \left tan\ x \right ^{21} + \left -1 \right ^{2} \left tan\ x \right ^{22} +\cdots \right]\\ & =4 \left[ \left 1 \right \left tan\ x \right ^{0}+\left -1 \right \left tan\ x \right ^{2 }+1 \left tan\ x \right ^{4} +\left -1 \right \left tan\ x \right ^{6} +\cdots \right] \\ & = 4 \left[ 1 + \left -1 \right \left tan\ x \right ^{2 }+\left 1 \right \left tan\ x \right ^{4} +\left -1 \right \left tan\ x \right ^{6} +\cdots \right] \\ \hline & a=1\ \text{dan}\ r=-tan^{2}x \\ & S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline & = 4 \left[ \dfrac{1}{1+ tan^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ \dfrac{1}{sec^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ cos^{2}x \right] \\ \end{align}$ Dari hasil eksplorasi di atas kita peroleh $4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} = 4 \left[ cos^{2}x \right]$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i}$ 25. Soal SBMPTN 2015 Kode 534 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}$ untuk $- \pi \lt x \lt 2\pi$, turun pada interval... $\begin{align} A\ & 0 \lt x \lt \dfrac{5\pi}{12} \\ B\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \\ C\ & \dfrac{\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\ D\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{7\pi}{12} \\ E\ & -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi} \\ f '\left x \right &= -\dfrac{-2\ cos\ x\ sin\ x + \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{2\ cos\ x\ sin\ x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ turun maka $f'\left x \right \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \lt 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & \lt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & = 0 \\ sin\ 2x - \frac{1}{2} & = 0 \\ sin\ 2x & = \frac{1}{2} \\ sin\ 2x & =sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 2x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{11\pi}{12},\frac{ \pi}{12},\frac{13\pi}{12} \\ \hline 2x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 2x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{7\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{17\pi}{12} \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \lt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $E\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ yaitu $x=0$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 20 - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}0+\frac{0}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{- \frac{1}{2}}{2+\pi} \lt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \lt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ 26. Soal SBMPTN 2015 Kode 541 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= \sqrt{cos^{2}2x+x}$ untuk $ x \gt 0$, naik pada interval... $\begin{align} A\ & \dfrac{4\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{12} \\ B\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24} \\ C\ & \dfrac{7\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{6} \\ D\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{24} \\ E\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{12} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= \sqrt{cos^{2}2x+x} \\ f '\left x \right &= \dfrac{-2\ cos\ 2x\ \cdot 2 \cdot sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-4\ cos\ 2x\ sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ naik maka $f'\left x \right \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \gt 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & \gt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & = 0 \\ -2 sin\ 4x +1 & = 0 \\ 2sin\ 4x & = 1 \\ sin\ 4x & = \dfrac{ 1}{2} \\ sin\ 4x & = sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 4x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2}\\ x & =\frac{\pi}{24},\ \frac{13 \pi}{12},\ \frac{25\pi}{24},\cdots \\ \hline 4x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 4x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2} \\ x & = \frac{5\pi}{24},\ \frac{17\pi}{24},\ \frac{29\pi}{24},\cdots \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \gt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $B\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $\dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ yaitu $x=\dfrac{12\pi}{24}=90$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 490 +1}{2\sqrt{1+90}} \\ &= \dfrac{0+1}{2\sqrt{1+90}} \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{1+90}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \gt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ 26. Soal SBMPTN 2015 Kode 510 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}$ untuk $ -\pi \leq x \leq \pi$, turun pada interval... $\begin{align} A\ & 0 \leq x \leq \dfrac{ \pi}{ 2} \\ B\ & 0 \lt x \lt \pi \\ C\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq 0 \\ D\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq \dfrac{\pi}{3} \\ E\ & -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x} \\ f '\left x \right &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ turun maka $f'\left x \right \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \lt 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & \lt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & = 0 \\ \frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x & = 0 \\ cos\ x & = \frac{x}{\sqrt{2}} \\ cos\ x & = cos\ \frac{ \pi}{4} \\ \hline x & =\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{\pi}{4} \\ \hline x & =-\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =-\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} \\ \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \gt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $E\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ yaitu $x=0$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ 0}{2\sqrt{2+\frac{0}{\sqrt{2}}-sin\ 0}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- 1}{2\sqrt{2+0-0}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \lt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ 27. Soal UMPTN 1996 Rayon A *Soal LengkapPersamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ adalah... $\begin{align} A\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}+1 \\ B\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}-1 \\ C\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{8}-1 \\ D\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}-1 \\ E\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1 \end{align}$ Alternatif PembahasanGradien garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ adalah $\begin{align} y & = tan\ x \\ m=y' & = sec^{2} x \\ & = \dfrac{1}{cos^{2}\ x} \\ & = \dfrac{1}{cos^{2} \left \frac{\pi}{4} \right} \\ & = \dfrac{1}{\left \frac{1}{2} \sqrt{2} \right^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left \frac{1}{4} \cdot 2 \right} = 2 \end{align}$ Dua garis saling tegak lurus maka perkalian kedua gradien garis adalah $-1$ atau $m_{1} \cdot m_{2}=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva gradiennya adalah $m=-\dfrac{1}{2}$. Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ dan $m=-\dfrac{1}{2}$ adalah $\begin{align} y-y_{1} & = m \left x-x_{1} \right \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2} \left x-\frac{\pi}{4} \right \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8} \\ y & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8}+1 \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1$ 28. Soal SIMAK UI 2010 Kode 205 *Soal Lengkap Jika diketahui $fx= \left tan x \right$, maka laju perubahan $fx$ pada saat $x=k$, dimana $\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$ akan sama dengan... $\begin{align} A\ & -sin\ k \\ B\ & cos\ k \\ C\ & -sec^{2}\ k \\ D\ & sec^{2}\ k \\ E\ & cot\ k \end{align}$ Alternatif Pembahasan Berdasarkan definisi nilai mutlak fungsi $fx= \left tan x \right$ dapat kita tuliskan, $ \left tan x \right = \left\{\begin{array}{cc} tan x,\ \text{untuk}\ tan x \geq 0 \\ -tan x,\ \text{untuk}\ tan x \lt 0 \end{array} \right.$ Untuk $k=x$ dan $\dfrac{\pi}{2} \lt k \lt \pi$ maka $x$ berada di kuadran II diperoleh $tan x$ bernilai negatif sehingga $fx=- tan\ x$. Laju perubahan $fx$ terhadap $x$ dapat kita tuliskan $\dfrac{dfx}{dx}=-sec^{2}x$, dan laju perubahan $fx$ pada saat $x=k$ adalah $\dfrac{dfk}{dx}=-sec^{2}k$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -sec^{2}\ k$ 29. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 *Soal Lengkap $y= sin\left sin\left sin\left sin\left \cdots\left sin\left sin\ x \right \right \right \cdots \right \right \right $ Tentukan $\dfrac{dy}{dx}$ pada $x=0$. $\begin{align} A\ & - \infty \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & \infty \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita lakukan dengan beberapa eksplorasi dengan fungsi yang sederhana. Untuk $y=sinx$ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cosx \\ f'0\ & =cos0 \\ = 1 \end{align}$ Untuk $y=sin\left sin\ x \right $ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos\left sin\ x \right \cdot cosx \\ f'0\ & =cos\left sin\ 0 \right \cdot cos0 \\ & =cos\left 0 \right \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$ Untuk $y=sin\left sin \left sin\ x \right \right $ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos \left sin \left sin\ x \right \right \cdot cos \left sin\ x \right \cdot cosx \\ f'0\ & =cos \left sin \left sin\ 0 \right \right \cdot cos \left sin\ 0 \right \cdot cos0 \\ & =cos \left sin \left 0 \right \right \cdot cos \left 0 \right \cdot 1 \\ & =cos \left 0 \right \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$ Jika kita lakukan eksplorasi pada langkah berikutnya hasilnya juga adalah $1$ dan ini menjawab untuk fungsi $y= sin\left sin\left sin\left sin\left \cdots\left sin\left sin\ x \right \right \right \cdots \right \right \right $ hasilnya adalah $1$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 1$ 30. Soal UMPTN 1991 *Soal Lengkap Nilai maksimum dari $fx= 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x$ untuk $0 \lt x \lt \pi$, adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 3 \\ C\ & 4 \\ D\ & -6 \\ E\ & -12 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama $f'x= 0$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f'x & = -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x \end{align}$ Untuk $f'x=0$, kita peroleh $\begin{align} -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ 2\ sin\ x\ cos\ x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ cos\ x \left2\ sin\ x - 1 \right & = 0 \\ -4\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ 2\ sin\ x - 1 & = 0 \\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ sin\ x & = \frac{1}{2} \\ \end{align}$ Untuk $0 \lt x \lt \pi$ kita peroleh Saat $cos\ x= 0$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=90^{\circ}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 90^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 90^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 90^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 180^{\circ} + 4 sin\ 90^{\circ} \\ & = 2\ \left -1 \right + 4 \left 1 \right = 2 \end{align}$ Saat $sin\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=30^{\circ}, 150^{\circ}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 30^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 30^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 30^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 60^{\circ} + 4 sin\ 30^{\circ} \\ & = 2\ \left \frac{1}{2} \right + 4 \left \frac{1}{2} \right = 3 \end{align}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 150^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 150^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 150^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 300^{\circ} + 4\ sin\ 150^{\circ} \\ & = 2\ \left \frac{1}{2} \right + 4\ \left \frac{1}{2} \right = 3 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3$ 31. Soal UMPTN 1992 *Soal Lengkap Diketahui $fx= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $\left 0,b \right$, nilai $b$ yang memenuhi adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & \dfrac{\pi}{2} \\ C\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ E\ & 2+\dfrac{\pi}{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama, dimana kita ketahui bahwa gradien garis singgung $m=f'x$. $\begin{align} fx & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline u = 2+cos\ x & \rightarrow u'=-sin\ x \\ v = sin\ x & \rightarrow u'=cos\ x \\ \hline f'x & = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left -sin\ x \right\left sin\ x \right-\left 2+cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ - \leftsin^{2} x 2cos\ x + cos^{2} x \right }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ x \right}{sin^{2} x} \end{align}$ Gradien garis singgung $m=f'x$ saat $x=\dfrac{\pi}{2}$ adalah $\begin{align} m & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ \frac{\pi}{2} \right}{sin^{2} \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2 \cdot 0 \right}{1^{2}} = -1 \end{align}$ Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}$, kita peroleh $y=fx$, yaitu $\begin{align} y & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ & = \dfrac{2+cos\ \frac{\pi}{2}}{sin\ \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{2+ 0}{1} 2 \end{align}$ Persamaan garis singgung yang melelui titik $\left \frac{\pi}{2}, 2 \right$ dan gradien $m=-1$ adalah $\begin{align} y-y_{1} & = m \left x -x_{1} \right \\ y-2 & = -1 \left x - \frac{\pi}{2} \right \\ y-2 & = -x + \frac{\pi}{2} \\ y & = -x + \frac{\pi}{2} +2 \end{align}$ Memotong sumbu $y$ adalah pada saat $x=0$, yaitu $\left 0, \frac{\pi}{2} +2 \right$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \frac{\pi}{2} +2 $ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa pembahasan soal Turunan Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban penilaian harian matematika, lembar jawaban penilaian akhir semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Turunan Fungsi Trigonometri silahkan disampaikan π CMIIWπ. Jangan Lupa Untuk Berbagi π Share is Caring π dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLEπ
Soaldan pembahasan dibawah merupakan lanjutan dari soal turunan sebelumnya, namun dikhususkan untuk soal-soal turunan trigonometri. Jangan sampai lupa materi turunan trigonometri pada posting sebelumnya yah Mari kita berlatih lagi dari contoh soal dan pembahasan turunan trigonometri berikutcekidot !!!
lum3n-44775/ - contoh soal turunan fungsi trigonometriContoh soal turunan fungsi trigonometri adalah salah satu materi pembahasan yang bisa dijumpai pada pelajaran Matematika di kelas 11 SMA. Pastinya akan ditemui lagi di kelas 12 dengan variasi soal dan jawaban yang mungkin lebih Soal Turunan Fungsi TrigonometriSebelumnya, sudahkah kalian tahu apa yang dimaksud dengan fungsi trigonometri? Mengutip dari buku Pasti Bisa Matematika untuk SMA/MA Kelas X, Tim Ganesha Operation, 2017, fungsi trigonometri adalah fungsi transenden atau fungsi nonaljabar. Fungsi ini tidak bisa dinyatakan dalam beberapa operasi aljabar. Contohnya fx = sin x, fx = cos adalah ilmu pengukuran segitiga yang mempelajari tentang sudut dan fungsinya. Konsep ini banyak digunakanuntuk mengetahui hubungan antara sudut dan sisi segitiga, yang dinamakan fungsi louis-bauer-79024/Berikut beberapa contoh soal turunan fungsi trigonometri dan jawaban serta Carilah turunan pertama dariYβ = β Uβ sin U = β 3 sin 3x β 2Yβ = Uβ cos U = 2 cos 2x + 32. Temukan turunan dari y = x2 sin = sin 3x maka Vβ = 3 cos 3xYβ = 2x . Sin 3x + x2 . 3 cos 3x3. Carilah turunan pertama dariYβ = β Uβ sin U = β 4 sin 4x4. Temukan turunan dari y = cos2 3x β 2.Misal U = 3x β 2 maka Uβ = 3Misal V = cos U maka Vβ = β sin UFV = V2 maka f'V = 2VYβ = 2V . β sin U . 3 = 2 cos U . β sin U . 3Yβ = -6 sin 3x β 2 cos 3x β 25. Temukan turunan dari y = sin2 2 β x.Misal U = 2 β x maka Uβ = -1Misal V = sin U maka Vβ = cos UFV = V2 maka f'V = 2VYβ = 2 sin U . Cos U . -1 = -2 sin 2 β x cos 2 β xPerlu diingat, bahwa dalam matematika, semakin rajin dan sering kamu berlatih mengerjakan soal, kamu juga akan menjadi semakin memahami materi yang diberikan. Semoga contoh soal turunan fungsi trigonometri dan kunci jawabannya tadi bisa kamu jadikan sebagai bahan belajar di rumah. DNR
Y5 sin x y 5 cos x soal nomor 2 diberikan fungsi f x 3 cos x tentukan nilai dari f Ο 2. Ingin latihan soal matematika lebih banyak lagi. Contoh Soal Limit Grafik Dan Pembahasan Soal dan pembahasan persamaan trigonometri persamaan trigonometri didefinisikan sebagai persamaan yang melibatkan perbandingan trigonometri seperti sinus cosinus tangen
Hai Quipperian, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat belajar, ya! Saat bepergian ke kota-kota besar seperti Jakarta, Bandung, atau Surabaya, pasti Quipperian akan melihat gedung-gedung megah berjajar yang memancarkan keindahannya. Gedung-gedung tersebut harus didesain sedemikian sehingga aman dan tahan terhadap guncangan. Di balik kemegahan dan keindahan gedung-gedung tersebut, ternyata ada peran Matematika di dalamnya. Benarkah demikian? Posisi atau kemiringan gedung merupakan hal utama yang harus diperhatikan. Membahas masalah kemiringan, ternyata ada peran trigonometri, lho. Apa itu trigonometri? Dan seperti apa prinsip turunan trigonometri? Temukan jawabannya di pembahasan Quipper Blog kali ini. Pengertian Trigonometri Trigonometri adalah ilmu Matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut dan sisi. Dari perbandingan tersebut, muncullah istilah sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Jika trigonometri tersebut memuat suatu variabel tertentu, maka disebut sebagai fungsi trigonometri. Adapun ciri-ciri fungsi trigonometri adalah sebagai berikut. Setelah Quipperian paham dengan ciri-ciri fungsi trigonometri di atas, kini saatnya mempelajari turunan dan fungsi dasarnya. Turunan dan Fungsi Dasar Trigonometri Untuk turunan dan fungsi dasar trigonometri, rumus yang digunakan adalah sebagai berikut. 1. Definisi turunan yang berkaitan dengan limit fungsi. 2. Rumus selisih sinus. 3. Rumus limit trigonometri. 4. Teorema limit. Untuk mengasah pemahamanmu tentang turunan fungsi trigonometri, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal 1 Pembahasan Dari contoh soal di atas, diperoleh turunan sinus dan kosinus berikut. Agar Quipperian mudah dalam mengingat bentuk turunan di atas, inilah SUPER βSolusi Quipperβ. Dasar utama yang digunakan untuk menurunkan fungsi trigonometri adalah turunan terhadap sinus maupun kosinus seperti tabel maupun SUPER di atas. Namun demikian, kaidah penurunannya tetap mengacu pada turunan aljabar berikut ini. Rumus Turunan Fungsi Dasar Trigonometri Lainnya Ternyata, sifat turunan fungsi trigonometri sama juga lho dengan fungsi aljabar. Mau tahu? Dari dua persamaan di atas, sifat turunan fungsi aljabar nomor 2 dapat digunakan untuk menentukan turunan trigonometri tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Jika ditelaah kembali, soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri itu banyak dan beragam, sehingga Quipper Blog telah merangkum beberapa rumus yang bisa memudahkan Quipperian saat mengerjakan soal. Adapun rumus yang dimaksud adalah sebagai berikut. Check this out! 1. Identitas perbandingan 2. Identitas pythagoras 3. Sinus sudut rangkap 4. Kosinus sudut rangkap Belajar turunan fungsi trigonometri tidak lengkap jika belum mengerjakan contoh soal. Oleh sebab itu, simak contoh soal tentang rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikut ini. Contoh soal 2 Jika fx = sec x, tentukan fβx! Pembahasan Berdasarkan identitas balikan diperoleh Gunakan permisalan seperti berikut. Dengan demikian diperoleh Apakah hanya itu? Ternyata tidak, ya. Turunan fungsi trigonometri untuk bentuk lainnya, bisa ditemukan pada tabel berikut ini. Dengan melihat beberapa persamaan di atas, Quipperian tidak perlu bingung karena SUPER βSolusi Quipperβ hadir membawa kemudahan untuk menghafalkannya. Inilah SUPER βSolusi Quipperβ. Turunan Fungsi Komposisi Untuk menurunkan fungsi komposisi trigonometri, Quipperian juga harus menggunakan prinsip dasar turunan fungsi komposisi aljabar. Adapun rumus dasarnya adalah sebagai berikut. Apakah Quipperian sudah paham dengan persamaan di atas? Jika masih mengalami kesulitan, Quipperian bisa mencoba prinsip turunan berantai seperti berikut ini. Keterangan y, u, dan v merupakan fungsi dalam variabel x. Untuk meningkatkan pemahaman kamu tentang turunan fungsi komposisi trigonometri, simak contoh soal berikut. Contoh soal 3 Pembahasan Dengan demikian, diperoleh Untuk menyelesaikan persamaan di atas, ingat prinsip persamaan sinus berikut. Tampaknya, Quipperian semakin paham tentang turunan fungsi komposisi trigonometri, ya. Cara termudah untuk menyelesaikan masalah terkait turunan fungsi trigonometri adalah dengan memahami turunan fungsi aljabar seperti pada pembahasan sebelumnya. Tugas Quipperian adalah mengubah fungsi trigonometri dalam soal sedemikian sehingga memiliki bentuk yang analog dengan fungsi aljabar yang dimaksud. Nilai Turunan Fungsi di x = p Suatu fungsi y = fx yang memiliki turunan di x = p, pasti turunan pertamanya fβp. Agar Quipperian lebih paham dengan nilai turunan fungsi di x = p, simak contoh soal berikut ini. Contoh soal 4 Diketahui fx = gx sin hx, dengan g2 = -1, gβ2 = -3, h2 = 0, dan hβ2 = 2. Tentukan nilai dari fβ2! Pembahasan Fungsi fx memuat perkalian fungsi, sehingga sifat yang digunakan adalah sebagai berikut. Pertama, Quipperian membuat permisalan seperti persamaan berikut. Berdasarkan permisalan di atas, diperoleh Jadi, nilai fβ2 = -2. Itulah pembahasan dan contoh soal tentang turunan trigonometri. Semoga pembahasan kali ini bermanfaat bagi Quipperian semua. Belajar Matematika itu bukan hal yang harus ditakutkan. Mengingat Matematika adalah ilmu dasar yang akan ada di setiap jenjang pendidikan. Oleh karena itu, asah kemampuan matematismu bersama Quipper Video. Dengan Quipper Video, belajar Matematika jadi lebih mudah dan praktis. Kamu bisa belajar kapan saja dan di mana saja. Salam Quipper. Penulis Eka Viandari
Untukmenjawab soal-soal turunan fungsi trigonometri yang sederhana kita masih bisa menggunakan rumus dasar. Akan tetapi, untuk soal yang lebih rumit kita harus menggunakan aturan rantai. Aturan rantai pada turunan fungsi trigonometri prinsipnya sama dengan aturan rantai pada turunan fungsi aljabar. Agar kita dapat menggunakan aturan rantai tentu
Sebelumnya, kita sudah belajar menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa. Ketika kita menuliskan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut yang dimulai dari $0^{\circ}$ sampai $360^{\circ}$ diperoleh nilai tertentu dan membentuk himpunan pasangan berurutan dalam format besar sudut, nilai. Apabila himpunan tersebut disajikan pada bidang koordinat berupa titik-titik yang kemudian dihubungkan, maka akan terbentuk suatu kurva, yang selanjutnya kita sebut sebagai grafik fungsi trigonometri. Baca Juga Soal dan Pembahasan β Perbandingan Trigonometri Dasar Baca Juga Soal dan Pembahasan β Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Nah, singkat cerita seperti penjelasan di atas. Untuk memantapkan pemahaman mengenai fungsi trigonometri, berikut disajikan soal beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat! Catatan soal-soal berikut ini sebagian besar diambil dari buku LKS Matematika Wajib Kelas X Semester 2 yang dikarang oleh Sdr. Nur Aksin dan Sdr. Anna Yuni Astuti dan diterbitkan oleh Intan Pariwara. Quote by Imam Syafiβi Bila kau tak tahan lelahnya belajar, maka kau harus tahan menanggung perihnya kebodohan. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Diketahui grafik fungsi $y_1 = 5 \sin x$ dan $y_2 = \sin 5x$. Pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$ A. periode $y_1$ = periode $y_2$ B. amplitudo $y_1$ = amplitudo $y_2$ C. periode $y_1 = \dfrac15$ kali periode $y_2$ D. amplitudo $y_1 = \dfrac15$ kali amplitudo $y_2$ E. amplitudo $y_1 = 5$ kali amplitudo $y_2$ Pembahasan Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah $y = a \sin kx$. Periode Periode $y_1 = 5 \sin x$ dengan $k = 1$ adalah $P_1 = \dfrac{360^{\circ}}{1} = 360^{\circ}$, sedangkan periode $y_2 = \sin 5x$ dengan $k = 5$ adalah $P_2 = \dfrac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}$. Dapat disimpulkan bahwa periode $y_1$ sama dengan 5 kali periode $y_2$. Amplitudo Amplitudo $y_1 = 5 \sin x$ dengan $a = 5$ adalah $A_1 = a = 5 = 5$, sedangkan amplitudo $y_2 = \sin 5x$ dengan $a = 1$ adalah $A_2 = a = 1 = 1$. Dapat disimpulkan bahwa amplitudo $y_1$ 5 kali amplitudo $y_2$. Pernyataan yang benar ada pada pilihan E. [collapse] Soal Nomor 2 Grafik $fx = 2 \cos x$ memotong sumbu-$X$ di titik berkoordinat $\cdots \cdot$ A. $30^{\circ}, 0$ D. $90^{\circ}, 0$ B. $45^{\circ}, 0$ E. $180^{\circ}, 0$ C. $60^{\circ}, 0$ Pembahasan Apabila grafik memotong sumbu-$X$, maka nilai $fx = y = 0$. Dengan demikian, $\begin{aligned} fx & = 2 \cos x \\ \Rightarrow 0 & = 2 \cos x \\ \Leftrightarrow \cos x & = 0 \end{aligned}$ Nilai $x$ yang membuat $\cos x$ bernilai 0 adalah $90^{\circ}.$ Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat $\boxed{90^{\circ}, 0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Grafik di atas adalah grafik fungsi $\cdots \cdot$ A. $fx = \dfrac12 \sin \dfrac12x$ B. $fx = \dfrac12 \sin 2x$ C. $fx = \dfrac12 \cos 2x$ D. $fx = 2 \cos \dfrac12x$ E. $fx = 2 \cos 2x$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Grafik di atas merupakan modifikasi grafik kosinus karena grafiknya dimulai dari sumbu-$Y$ dengan bentuk umum $fx = a \cos kx.$ Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac12$, sedangkan nilai minimumnya $-\frac12$ sehingga $\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{\frac12 -\frac12}{2} = \dfrac12 \end{aligned}$ Saat $x = 0^{\circ}$, nilai fungsinya $\frac12$, lalu berulang kembali di $x = \pi$ sehingga periodenya $\pi$. Dengan demikian, $k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}= \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$. Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi $\boxed{fx = \dfrac12 \cos 2x}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 4 Grafik di atas adalah grafik fungsi $\cdots \cdot$ A. $y = 2 \sin x, 0^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}$ B. $y = 2 \cos 4x, 0^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}$ C. $y = 4 \sin 2x, 0^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}$ D. $y = 4 \cos 2x, 0^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}$ E. $y = 4 \sin 4x, 0^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Beranjak dari grafik sinus yang memiliki bentuk umum $fx = a \sin kx$, kurva pada gambar tidak bergeser dan berawal dari titik $0,0$. Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi adalah $4$ dan $-4$ sehingga $\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{4 -4}{2} = 4 \end{aligned}$ Pada saat nilai $x = 180^{\circ}$, fungsi kembali bernilai $0$, lalu berulang kembali seperti sebelumnya sehingga periodenya adalah $180^{\circ}$, dan akibatnya $k = \dfrac{360^{\circ}}{180^{\circ}} = 2.$ Jadi, rumus fungsi $\boxed{fx=4 \sin 2x}$ dengan batas interval $0^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}.$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Aplikasi Trigonometri Soal Nomor 5 Grafik fungsi $fx = -2 \cos 3x,$ $-\pi \leq x \leq \pi$ adalah $\cdots \cdot$ Pembahasan Bentuk umum fungsi kosinus adalah $fx = a \cos kx$. karena $fx = -2 \cos 3x$, maka $a = -2$ dan $k = 3$. Amplitudo grafiknya adalah $-a = a = 2$ dan saat $x = 0^{\circ}$, nilai fungsinya adalah $f0 = -2 \cos 30 = -21 = -2$ sehingga pilihan B, D, E tereliminasi. Karena $k = 3$, maka periode fungsinya adalah $\begin{aligned} k &= \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} \\ 3 & = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} \Leftrightarrow \text{Periode} = \dfrac{2}{3}\pi \end{aligned}$ Pada pilihan A, periode grafiknya adalah $\pi -\pi = 2\pi$, sedangkan pada pilihan C, periode grafiknya dapat dilihat dengan observasi berikut dari titik $x = 0$ ke titik $x = \pi$ terdapat 1,5 gelombang 1,5 lembah; 1,5 bukit sehingga periodenya adalah $\dfrac{\pi -0}{1,5} = \dfrac{2}{3}\pi.$ Jadi, grafik fungsi $fx = -2 \cos 3x$ ditunjukkan pada pilihan C. [collapse] Soal Nomor 6 Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah $\cdots \cdot$ A. $fx = 2 \sin \leftx -\frac{\pi}{2}\right$ B. $fx = \sin \left2x + \frac{\pi}{2}\right$ C. $fx = 2 \sin \leftx + \frac{\pi}{2}\right$ D. $fx = \sin \left2x -\frac{\pi}{2}\right$ E. $fx = 2 \sin \left2x + \frac{\pi}{2}\right$ Pembahasan Beranjak dari grafik sinus karena kurva bergeser ke kiri sejauh $\frac{\pi}{2}$, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah $fx = y = a \sin kx-c$. Untuk grafik ini, nilai $c$ yang menentukan pergeseran kurva adalah $-\frac{\pi}{2}$ tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri. Dimulai dari titik $x = -\dfrac{\pi}{2}$ yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai $0$ dan berulang kembali di titik $x = \dfrac{3\pi}{2}$ sehingga periode grafik fungsinya adalah $\dfrac{3\pi}{2} β \left-\dfrac{\pi}{2}\right = 2\pi$. Dengan demikian, $k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1$ Nilai $a$ ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni $\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{2 -2}{2} = 2 \end{aligned}$ Jadi, rumus grafik fungsinya adalah $$\boxed{fx = 2 \sin 1\leftx+\frac{\pi}{2}\right = 2 \sin \leftx+\frac{\pi}{2}\right}$$Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Sistem Koordinat Kartesius Soal Nomor 7 Perhatikan grafik berikut. Fungsi yang memenuhi grafik di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $fx = -2 \sin \leftx -\frac{\pi}{4}\right$ B. $fx = -2 \sin \leftx + \frac{\pi}{4}\right$ C. $fx = -2 \sin \left2x -\frac{\pi}{2}\right$ D. $fx = -2 \sin \left2x + \frac{\pi}{2}\right$ E. $fx = -2 \sin \left2x -\frac{\pi}{4}\right$ Pembahasan Beranjak dari grafik sinus karena kurva bergeser ke kiri sejauh $\frac{\pi}{4}$, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah $fx = y = a \sin kx-c$. Untuk grafik ini, nilai $c$ yang menentukan pergeseran kurva adalah $-\frac{\pi}{4}$. Dimulai dari titik $x = -\frac{3\pi}{4}$ yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai $0$ dan berulang kembali di titik $x = \frac{\pi}{4}$ sehingga periode grafik fungsinya adalah $\dfrac{\pi}{4} β \left -\dfrac{3\pi}{4}\right = \pi.$ Dengan demikian, $k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2.$ Nilai $a$ ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni $\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{2 -2}{2} = 2 \end{aligned}$ Catatan Pilihan ganda pada soal menunjukkan bahwa $a = -2$, artinya kurva sinus menurun, lalu menanjak. Ini menjadi alasan mengapa kita anggap kurva bergeser ke kiri. Jadi, rumus grafik fungsinya adalah $$\boxed{fx = -2 \sin 2\leftx + \frac{\pi}{4}\right = -2 \sin \left2x + \frac{\pi}{2}\right}$$Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Pembuktian Identitas Trigonometri Soal Nomor 8 Grafik fungsi berikut adalah sketsa grafik dari $y = a \cos kx$. Nilai $a$ dan $k$ berturut-turut adalah $\cdots \cdot$ A. $-2~\text{dan}~1$ D. $2~\text{dan}~1$ B. $-2~\text{dan}~2$ E. $2~\text{dan}~-1$ C. $2~\text{dan}~2$ Pembahasan Nilai $a$ ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni $\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2}\\ & = \dfrac{2 -2}{2} = 2 \end{aligned}$ Grafik menunjukkan bahwa saat $x = 0$, nilai fungsinya $-2$, begitu juga saat $x = 2\pi$. Ini berarti, periode grafiknya adalah $2\pi$ sehingga dengan menggunakan rumus periode, diperoleh $2\pi = \dfrac{2\pi}{k} \Leftrightarrow k = 1.$ Jadi, $a$ dan $k$ berturut-turut adalah $\boxed{a=-2}$ dan $\boxed{k=1}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Diketahui $fx=\cos x +3$ dengan $0 \leq x \leq 2\pi$. Daerah hasil fungsi $fx$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-3 \leq fx \leq 3$ B. $-2 \leq fx \leq 2$ C. $-1 \leq fx \leq 1$ D. $0 \leq fx \leq 3$ E. $2 \leq fx \leq 4$ Pembahasan Agar $fx = \cos x + 3$ mencapai maksimum, maka $\cos x$ haruslah sebesar-besarnya, yaitu $\cos x = 1$. Untuk itu, $f_{\text{maks}}x = 1 + 3 = 4.$ Agar $fx = \cos x + 3$ mencapai minimum, maka $\cos x$ haruslah sekecil-kecilnya, yaitu $\cos x = -1$. Untuk itu, $f_{\text{min}}x = -1 + 3 = 2.$ Jadi, daerah hasil fungsi $fx$ adalah semua nilai bilangan real dari $2$ sampai $4$, atau secara matematis ditulis $\boxed{2 \leq fx \leq 4}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Persamaan Trigonometri Soal Nomor 10 Nilai minimum $fx = 2 \sin \leftx β \dfrac{\pi}{3}\right + 1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-3$ C. $-1$ E. $3$ B. $-2$ D. $1$ Pembahasan Nilai minimum $fx = 2 \sin \leftx β \dfrac{\pi}{3}\right + 1$ tercapai ketika $\sin \leftx- \dfrac{\pi}{3}\right$ bernilai sekecil-kecilnya, yaitu $\sin \leftx -\dfrac{\pi}{3}\right = -1$. Untuk itu, $f_{\text{min}}x = 2-1 + 1 =-1.$ Jadi, nilai minimum $fx$ adalah $\boxed{-1}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 11 Fungsi $fx = 2 -5 \sin \dfrac{\pi x}{6}$ untuk $-5 \leq x \leq 1$ mempunyai nilai maksimum $p$ di titik $x=q$. Nilai $p+q=\cdots\cdot$ A. $7$ C. $5$ E. $3$ B. $6$ D. $4$ Pembahasan Agar $fx=2 β 5 \sin \dfrac{\pi x}{6}$ , nilai $\sin \dfrac{\pi x}{6}$ haruslah sekecil mungkin negatif. Karena nilai minimum sinus adalah $-1$, maka dalam hal ini $\begin{aligned} \sin \dfrac{\pi x}{6} & = -1 \\ \sin \dfrac{\pi x}{6} & = \sin \dfrac{3\pi}{2} \\ \dfrac{\pi x}{6} & = \dfrac{3\pi}{2} \\ \pi x & = 9\pi \\ x & = 9 \end{aligned}$ Nilai $x$ yang diperoleh berada di luar interval sehingga tidak memenuhi. Di kasus lain, $\begin{aligned} \sin \dfrac{\pi x}{6} & = -1 \\ \sin \dfrac{\pi x}{6} & = -\sin \dfrac{\pi}{2} \\ \dfrac{\pi x}{6} & = -\dfrac{\pi}{2} \\ \pi x & = -3\pi \\ x & = -3 \end{aligned}$ Nilai $x = -3 = q$ ini memenuhi interval yang diberikan. Ini berarti, nilai maksimum $fx$ adalah $\begin{aligned} f-3 & = 2 -5 \sin \dfrac{\pi-3}{6} \\ &= 2 -5-1 = 7 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{p + q = 7 + -3 = 4}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui $fx = \sqrt2 \cos 3x + 1$. Jika nilai maksimum dan minimum $fx$ berturut-turut adalah $p$ dan $q$, maka nilai $p^2+q^2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1$ C. $3$ E. $6$ B. $2$ D. $4$ Pembahasan Nilai maksimum $fx = \sqrt2 \cos 3x + 1$ tercapai ketika $\cos 3x$ bernilai sebesar-besarnya, yaitu $\cos 3x = 1$. Untuk itu, $f_{\text{maks}}x = p = \sqrt2 1 + 1 = \sqrt2 + 1.$ Nilai minimum $fx = \sqrt2 \cos 3x + 1$ tercapai ketika $\cos 3x$ bernilai sekecil-kecilnya, yaitu $\cos 3x = -1$. Untuk itu, $\begin{aligned} f_{\text{min}}x = q & = \sqrt2 -1 + 1 \\ & = -\sqrt2 + 1 \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} p^2+q^2 & = \sqrt2 + 1^2 + -\sqrt2 + 1^2 \\ & = 2 + \cancel{2\sqrt2} + 1 + 2 β \cancel{2\sqrt2} + 1 \\ & = 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p^2+q^2=6}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 13 Nilai $x$ yang memenuhi saat fungsi $fx = -4 \sin 3x + 2$ memotong sumbu-$X$ pada interval $270^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $270^{\circ}$ D. $305^{\circ}$ B. $280^{\circ}$ E. $315^{\circ}$ C. $290^{\circ}$ Pembahasan Ketika kurva memotong sumbu-$X$, ordinatnya akan bernilai $0$ atau $fx = y = 0$. Untuk itu, kita peroleh $\begin{aligned} fx & = -4 \sin 3x + 2 \\ \Rightarrow 0 & = -4 \sin 3x + 2 \\ -2 & = -4 \sin 3x \\ \sin 3x & = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac12 \\ \sin 3x & = \sin 30^{\circ} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa interval $x$ adalah $270^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$. Berdasarkan rumus persamaan dasar trigonometri, diperoleh Kemungkinan 1 $\begin{aligned} 3x & = 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{aligned}$ Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 10^{\circ}$. Untuk $k = 1$, diperoleh $x = 130^{\circ}$. Untuk $k = 2$, diperoleh $x = 250^{\circ}$. Untuk $k = 3$, diperoleh $x = 370^{\circ}$. Kita tidak peroleh nilai $x$ yang memenuhi interval yang diberikan. Kemungkinan 2 $\begin{aligned} 3x & = 180-30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 50^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{aligned}$ Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 50^{\circ}$. Untuk $k = 1$, diperoleh $x = 170^{\circ}$. Untuk $k = 2$, diperoleh $\color{blue}{x = 290^{\circ}}$. Untuk $k = 3$, diperoleh $x = 410^{\circ}$. Kita peroleh hanya satu nilai $x$ yang memenuhi interval yang diberikan, yakni $\boxed{x = 290^{\circ}}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan β Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga Menurut Trigonometri Soal Nomor 14 Nilai maksimum dari $fx = \displaystyle \int 3 \cos x-4 \sin x~\text{d}x$ adalah $2$ kali nilai minimumnya. Nilai $f0 = \cdots \cdot$ A. $12$ C. $19$ E. $25$ B. $15$ D. $20$ Pembahasan Pertama, integralkan dulu rumus fungsi $f$ yang diberikan. $$\begin{aligned} \displaystyle \int 3 \cos x-4 \sin x~\text{d}x & = 3 \sin x-4-\cos x + C \\ & = 3 \sin x + 4 \cos x + C \end{aligned}$$Bentuk $3 \sin x + 4 \cos x$ dapat diubah menjadi $r \cos x-p$ dengan $r = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$. Nilai $p$ tidak perlu dicari. Catatan Bentuk $a \cos x + b \sin x$ sama dengan $r \cos x-p$ dengan $r = \sqrt{a^2+b^2}$ dan $\tan p = \dfrac{b}{a}$, $-\pi \leq p \leq \pi.$ Kita peroleh, $fx = 5 \cos x-p + C.$ Nilai maksimum $fx$ tercapai saat $\cos x-p$ bernilai maksimum, yaitu $1$, sedangkan nilai minimumnya tercapai saat $\cos x-p$ bernilai minimum, yaitu $-1$. Karena nilai maksimum dua kali nilai minimum $fx$, maka kita tulis $$\begin{aligned} f_{\text{maks}}x & = 2f_{\text{min}}x \\ 51 + C & = 25-1 + C \\ 5+C & = -10+2C \\ C & = 15 \end{aligned}$$Jadi, rumus fungsi $fx = 3 \sin x + 4 \cos x + 15$ sehingga $$\boxed{\begin{aligned} f0 & = 3 \sin 0 + 4 \cos 0 + 15 \\ & = 30 + 41 + 15 = 19 \end{aligned}}$$Jawaban C [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Tentukan periode, nilai maksimum, dan nilai minimum fungsi trigonometri berikut. a. $fx = 2 \sin 3x$ b. $fx = -3 \cos 2x$ c. $fx = 4 \tan \dfrac13x$ Pembahasan Jawaban a Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah $fx = a \sin kx$. Karena fungsi $fx= 2 \sin 3x$, maka $a=2$ dan $k=3$. 1 Periode $=\dfrac{360^{\circ}}{k} = \dfrac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$ 2 Nilai maksimum $= a = 2$ 3 Nilai minimum $= -a = -2$ Jawaban b Bentuk umum fungsi kosinus tersebut adalah $fx = a \cos kx$. Karena fungsi $fx= -3 \cos 2x$, maka $a=-3$ dan $k=2$. 1 Periode $=\dfrac{360^{\circ}}{k} = \dfrac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$ 2 Nilai maksimum $= -a = -3=3$ 3 Nilai minimum $= a = -3$ Jawaban c Bentuk umum fungsi tangen tersebut adalah $fx = a \tan kx$. Karena fungsi $fx= 4 \tan \dfrac13x$, maka $a=4$ dan $k=\dfrac13$. 1 Periode $=\dfrac{180^{\circ}}{k} = \dfrac{180^{\circ}}{\frac13} = 540^{\circ}$ 2 Nilai maksimum $\infty$ 3 Nilai minimum $-\infty$ Catatan fungsi tangen tidak memiliki amplitudo dan nilai maksimum/minimumnya tak hingga atau negatif tak hingga. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c Soal Nomor 2 Tentukan fungsi yang sesuai dengan gambar grafik berikut. Pembahasan Jawaban a Perhatikan sketsa gambar berikut. Apabila grafik di atas digeser ke arah kanan sehingga titik ujungnya di $0,0$, maka diperoleh grafik sinus berbentuk $fx = y = a \sin kx -\theta$. Diketahui bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi pada grafik adalah $3~\text{dan}~-3$ sehingga $\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{3 β-3}{2} = 3 \end{aligned}$ Tampak juga bahwa periode grafiknya adalah $2\pi = 360^{\circ}$ sehingga $k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1$ Karena pergeserannya ke arah kanan sebesar $\frac{\pi}{4}$, maka $\theta = -\dfrac{\pi}{4}$ bertanda negatif bila digeser ke kanan sehingga rumus fungsinya adalah $fx = 3 \sin \leftx + \dfrac{\pi}{4}\right.$ Jawaban b Perhatikan sketsa gambar berikut. Apabila grafik di atas digeser ke arah kanan sehingga titik ujungnya di $0,0$, maka diperoleh grafik sinus berbentuk $fx = y = a \sin kx -\theta$. Diketahui bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi pada grafik adalah $1~\text{dan}~-1$ sehingga $\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ &= \dfrac{1 β-1}{2} = 1 \end{aligned}$ Tampak juga bahwa periode grafiknya adalah $180^{\circ}$ sehingga $k = \dfrac{360^{\circ}}{180^{\circ}} = 2$ Karena pergeserannya ke arah kanan sebesar $30^{\circ}$, maka $\theta = -30^{\circ}$ bertanda negatif bila digeser ke kanan sehingga rumus fungsinya adalah $fx = \sin 2\leftx + 30^{\circ}\right$. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Penerapan Identitas Trigonometri
. 341 10 292 33 102 209 255 31
soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri
